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静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程

作者:888扑克手机版 发布时间:2020-10-13 11:20 点击数:

  静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程_数学_自然科学_专业资料。第二章 静电场 §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉

  第二章 静电场 §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力 ★ 电位的泊松方程 2 ★ 静电场的基本方程 E 0 或(E ) D 2 §2-5 泊松方程和拉普拉斯方程 一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程 3 §2-5 泊松方程和拉普拉斯方程 一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程 4 一、静电场的基本方程 前面已经得出: ?静电场是无旋场 E 0 (静电场守恒性的微分形式) ?静电场是守恒场 E d l 0(静电场的环流定理) C 静电场强的环路积分为零。 5 因此,电场强度 E可以用一个标量 函数——电位函数的负梯度表示。 E 同时,静电场又是一个有散场, 静止电荷是静电场的散度源。 6 因此,可以从静电场的性质总结出: 在各向同性、均匀、线性的媒质中 静电场的基本方程: 积分形式: Edl C 0 Dd S S q 微分形式: E 0 或(E ) 介质方程: D D 0rE E 7 在各向同性、均匀、线性的媒质中, 由静电场的基本方程可以得出结论: 静电场是一个有通量源(静止电荷) 而没有旋涡源的矢量场。 8 根据矢量场理论,要确定一个矢量场, 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了: 一个旋度方程和 一个散度方程。 同时,场量的散度与该场的标量源密度有关, 旋度与该场的矢量源密度有关。 9 §2-5 泊松方程和拉普拉斯方程 一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程 10 二、泊松方程和拉普拉斯方程 1、泊松方程 2、拉普拉斯方程 11 1、泊松方程 D E E (介质方程) (电场与电位的关系) D (E) E () (在均匀、线性、各向同性的电介质中,为常数。) 2 (电位的泊松方程) 12 2、拉普拉斯方程 对于场中没有电荷分布(=0)的区域内: 2 (电位的泊松方程) 0 2 (电位的拉普拉斯方程) 拉普拉斯方程是泊松方程的特例。 13 2是拉普拉斯算符:二阶微分算符 直角坐标系: ax x ay y az z 2 ax x ay y az z ax x ay y az z 2 x 2 2 y 2 2 z 2 14 拉普拉斯算符2在三种坐标系中的表示 ?直角坐标系:2 2 x2 2 y 2 2 z 2 ?圆柱坐标系:2 1 r r r r 1 r2 2 2 2 z 2 ?球坐标系: 2 1 r2 r r 2 r 1 r2 sin sin 1 r 2 sin 2 2 2 15 两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决 1、已知:有限区域内的电荷分布, 求:电位和场强 (场域内电介质是均匀、线性和各向同性。) 求电位: (x, y, z) 1 (x, y, z) dV 4 V r 求场强: E 16 2、给定电场分布,即已知 D和E , 求电荷的分布。 D 或 E 17 例2-9 P66 已知导体球的电位是U(设无穷远处的电位为0), 球的半径为a,求球外的电位函数。 解:球外的电位满足拉普拉斯方程(=0),且电场 具有球面对称性,因此= (r)。 球 坐 标 系, 2 1 r2 r r 2 r 1 r 2 sin sin 1 r 2 sin 2 2 2 1 r2 r r 2 r 0 r 2 0 r r 18 r 2 0 r r 一次积分 r2 r C1 C1 r r 2 r C1 r2 一次积分 C1 r C2 边界条件: r a , U ; r , 0。 C1 aU; C2 0。 aU (a r ) r 19 例2-10 P66 两无限大平行板电极,板间距为d,电压 为U0,并充满密度为0x/d的体电荷。用 泊松方程的方法求板间的电场强度。 解: 2 0x 0d x 0, 0 (0 x d) x d, U0 0x d 2 2 x2 d 2 dx2 0x 0d20 d 2 0 x dx2 0d 一次积分 d dx 1 2 0 x2 0d C1 一次积分 边界条件: x 0, 0; 0 x3 6 0 d C1x C2 C1 U0 d 0d 6 0 ; x d , U0 . C2 0 21 0x3 6 0 d U0 d 0d 6 0 x E 0 x2 2 0 d U0 d 0d 6 0 ax 22 填空题: 静电场电位所满足的微分方程是 。 2 原来就是泊松方程啊! ~~~~~~ORZ………………… 23


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