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永磁同步电机瞬态电磁场之分析

作者:888扑克手机版 发布时间:2020-07-23 22:10 点击数:

  本文采用“场路耦合法”对永磁同步电动机在起动过程中的瞬变电磁场进行了分析和计算。首先从麦克斯韦方程组出发+ 对电磁场有 限元法进行了详细的公式推导.建立了用于二维瞬变电磁场数值计算 的方程。采用了一种适用于非线性媒质计算的时间逐步迭代法. 以及 。运动边界法”来处理定、转子相对运动, 而且把电磁场方程与电路 方程互相耦舍起来,求解出永磁同步电动机的电流、矢量磁位等值, 然后推导了可以直接利用场的数值解计算电磁转矩的公式。 采用本文所提出的方法.对一台11KW的永磁同步电动机的瞬态 起动特性、空载磁场分布和起动过程的磁场分布. 进行了详细的电磁 场分析.得到了电机在起动过程中电流、转矩、 转速随时间变化的客 观规律。在对绕组电流的计算中,使用了“场路耦舍”的方法。先从 场出发,得到绕组感应电动势.再用外电路求出绕组电流。这样. 保证了计算的准确.又简化了计算过程。实验结果验证了该方法的正确性和实用性。 关键词: 瞬态特性 有限元法运动边界’ 电磁场 ABsTI讼CT Thispaperpresents gerneralmethod r蛐ed —Field _circuit coupling一.强e finitee1衄et舱thod analysi8thetrasient eletr0皿agnetic field industrialfrequency forthe per珥enent magnent 8ynchrous 皿0tor duriIlg startingproce8s.The讴z.ying relative movement between statDraretaken s1ip surface combinedwithVariabletime st印length.A啦thematical瑶Ddel pre8entedtosolve 8imultanously 0befield circuitequa£ions In orIierto cope withthe Volt&ge source supply ,corre8ponding finiteforulae comDleteeliinationoft.be iteration process startingcurrent ofa permanent magnetsynchrou8皿OtOr. After cOnnecting tran8ieteddy current equation Witb thee】。ectrical circui£euations,thecurveofcurrent. rotating speed Via ti皿e drawedout.’IIhe starting characteristicofa 11 KW radiaJ permanent皿agnetsynchrous motoris calculated using computingethodinthis paper. ealcul、ated姐luesarein agreeent withtestresult8, Keyword8:Tran8ient prfo瑚ance Field—circuit coupling Finite elementmethod 跏ing border Electro匝agnectic field 第一章 绪论 1-1电磁场研究的回顾 电磁场理论是电机的主要理论基础,电机要实现机电能量转换, 必须要有电磁场作为耦合场,并且通过电磁场来实现。 电机中电磁场 在不同媒质中的分布、变化以及与电流的交链情况. 决定着电机的运 行状态与性能。因此要研究电机内能量相互转换的机制. 就必须深入 研究电机电磁场的理论。 传统的分析和计算方法常常被归结为电路和磁路问题. 并且使场 和路相结合,而最终以路的形式表达出来。但是大型电机和特殊电机 的出现.以及随之而来的各种新问题.使得用路的分析方法得不到令 人满意的结果。 于是人们开始把探索的目光转向了对电磁场的直接分 析和计算.而从根本上摈弃了路的分析方法所带来的不方便。早期的 电磁场分析和计算方法主要有直接积分法、保角变换法、镜象法、 弛法、解析法、图解法、模拟法和试探法等等。这些方法都曾经有效地解决了不少困扰人们的问题,取得了较好的结果。僵是它们只是在 一定的撂盒及特殊的条件下,才能够满足工程计算的需要. 对于某些 实际电机的电磁场问题常常显得无能为力或收效甚微. 存在着很大的 局限性。 随着电子计算机性能的日益提高.以及数值计算技术的迅猛发展,电机电磁场数值解法得到了很大的发展, 它的出现在电磁场的计算方 法上引起了质的变化.适用范围也超过了所有其它解法. 并且计算精 度相当高。电机电磁场数值解法的研究.为电机电磁场的分析和研究 开创了崭新的局面。促进了电机理论分析的深入和电机制造工业的蓬 勃发展。把有限元法(the FiniteE1蜘ent 14ethod)首先应用到电机 他在分析加速器磁铁的饱和效应时,使用了有限元法。而电机内电磁场同题的第一个通用非线性变分 描述,则是由席尔凡斯特(P.P.Silvester)和查利(V,V.K.Chari)在七 十年代初提出的12】 13】。以后.这个方法发展很快.现在可J奠认 为它是电机工程领域内发展最快的一种技术。 自此以后.有限元法已经应用劐各种电工同题,并且成效显著。 这里列举他们当中的几个。席尔凡斯特和查利以及安德森l Ander8en) 用有限元法研究了变压器;查利和席尔凡斯特.布莱德尔{Brandl)、 莱契特lReichert)和付格特{vogt)等将有限元法应用到汽轮发电机; 豪威(珏0We)和哈蒙特{Hamnd),查利、 (Kudlacik),奥田(okuda)、川村(Ka籼ural和尼西(Nishi)等人研究了汽轮发电机的端部磁场;格洛温斯基【G10wiB8ki) (Marrocco)研究了凸极发电机;席尔凡斯特和哈斯莱姆《珏a8la)研究了地磁同题中的涡流;查利研究了磁铁机构中的涡流;福基(Fo鲳ia)、 赛保那第尔lsabo妯adiere)和席尔凡新特研究了直线感应电动机中的 涡流;魏克斯勒1wexler)研究了磁阻式电机中的各向异性磁场问题; 安德森专门研究了静电场问题等等。 用有限元法计算电机电磁场稳定状态的理论可以说是已经成熟. 现在研究工作的焦点一般都集中在求解二维电磁场的瞬态特性以及三 维涡流电磁场(采用不规则多面体)昏l 17】即l。在求解二维 瞬态电磁场上,国内外一些专家、 学者已开始了电机瞬变电磁场的数 值计算方法的研究工作.并已取得了一定的成果。在文献111】中,作者在假定定、转子都相对于磁场静止,涡流 仅由磁场幅值随时间变化所引起的条件下,建立了电磁场满足的涡流 方程,利用类似于解决瞬态热传导同题的方法,计算了定子绕组开路、 转子绕组突然短路这一最简单的瞬变电磁场。作为瞬变电磁场计算的 开端,文散n1】虽然作了许多假设. 但比传统的路的分析方法明显 地提高了一步。它完整地考虑了电机的结构和实心极靴的作用. 同时 也避免了由场转换为参数时所必须作的近似和假设。文献【13】在与 文献111】同样条件下,应用双轴理论, 用嵌在定子槽内的双轴正弦 分布绕组来等效实际定子绕组,在忽略变压器电势的前提下.建立了 强包含旋转电势的派克(Park)方程,然后用派克方程建立定子绕组中 旋转电势和电漉及磁场的联系.计算了定子绕组突然三相短路的电机 瞬变电撤场,由于忽略了变压器电势, 因此所计算出的绕组电流只包 含了交流分量,即周期分量和直轴电抗.而无法算出电机的交轴参数。 在文献Ilo】中,作者将电机的定、转子相对运动看作相对静止。并 建立了棚应的瞬态电磁塌方程。但是用仃lv1B’)来表示相对运动引 起的涡流,也造成了有限元方程的系数矩阵不对称,增加了求解方程 组的困难。 综E所述,这些文献所提出的计算瞬态电磁场的方法.基本上都 考虑了各种电机的实际结构, 在这方面比传统的路的方法大大地提商 了一步。但是它们都有一个共同的不足之处:在分析和计算电磁场问 题时.为了使求解的同题筒化.而作了过多的假设。还有就是没有考 虑定、转子的相对运动,或者说不能够建立出更好的定、 转子相对运 动的模型,因而在某种程度上来说. 它们对瞬态电磁场的数值计算还 不够精确。电机电磁场的研究.扶线性场到非线性场,一般都是在预先给定 电流分布的前提下,求出电磁场的分布。后来发展到电机外部电路, 用电流迭代法,即先假设一个电流初始值, 由电磁场数值解求得这一 电流下的外加电压,然后回代到外电路方程中。如果外电路方程不满 足,则耱要重新假设电流值.再进行上述过程的计算,反复迭代. 到假设值与计算结果相吻合为止。随着电机电磁场研究的深入和电机设计更高的要求,对旋转电机 的动态过程也提出了电磁场分析的技术必要性。旋转电机动态过程的 计算.是一个复杂的运算过程。它不仅仅限于电磁场本身的计算. 要考虑与电机相联的外部电路和机械系统的相互作用,以及如何精确 地模拟定、转子之同的相对运动。这就要求将电磁场有限元方程和与 场耦合的绕组回路方程联立求解, 电流量也成为方程组中的未知量. 方程中未知量增加的个数为电流量的个数.这样就省去了多次的电流 迭代丽使计算速度大大加快。 定、转子的相对运动会引起气隙场域有限元剖分网格的严重变形. 因而若要考虑定、转子的相对运动, 首先就必须对气隙场域作出特殊 处理。文献116】【17】118】119】的出现.为考虑定、转子的相 对运动提供了几种可供参考的思路。 文献116】提出“气隙元”的概念.将气隙场域作为一个特殊的 大单元,对其单独进行解析求解.然后把解析计算结果与定、 转子场 域的有限元法相结合进行整个场域的求解。 文献中证明这种方法在解 决网格变形同题时的精度可以很高。然而所需计算量却相当大。尤其 是当气隙与定、转子交界处的节点较多时,由解析法求解需要的 cPU 时间很长,而且会破环有限元系数矩阵的稀疏性。文献117】提出一种‘‘网格旋转法”,它能保持有限元系数矩阵的稀疏性,但求解区域 却需要选择整个电机截面,比一般有限元法的工作量增加许多。文献 118】又提出了“运动带”的概念。 即在气隙中设置一条由运动的三 角形剖分网格组成的区域,当定子和转子相对运动时, 要对这个区域 的三角形网格的三个顶点进行修改.以免出现三角形网格的严重扭曲。 这种方法基本上保持了有限元系数矩阵的稀疏性,又不需要引入解析 解,所以比较能让入接受。不足之处是. 当转子运动一定的时间步长 后,需要对气隙区域内的有限元网格重新剖分和组合,无形之中增加 了工作量,从而影响电磁场数值解的计算精度。文献119】提出了用 运动交乔面法处理定子和转子之间的相对运动。这种方法要求定、 转子两面的节点能对应刭一起。这样转予运动时,定子和转子以及气 隙区域的有限元剖分网格髓保持不变。 上述各种方法都还很不完善,在某种意义上来说. 它们都艟或多 或少地解决莱一方面的同题.但是又都存在着种种局限。迄今为止. 尚没有一种通用的有限元分析(包括瞬态过程、涡流、频域、三维场、 温度场等)软件,世界各国的研究工作者还在为了这些同题继续努力工 1-2,永磁电机的发展简介、永磁电机的基本原理与特点 我们知道. 电机的气隙磁场是产生感应电势和电磁力矩必不可少 的主要因紊。为了建立所需的气隙磁场,电机磁场需有一定的磁势来 勋磁。一般的直流电机和交流电机采用外电流励磁.这类的电机. 之为电磁式电机。永久磁铁在经过外界磁场的磁化以后,在没有外界 磁场的作用下.仍能保持有很强的磁性能.并且具有N、 S极和建立 外磁场的能力。因而可以用于替代发电机和电动机的电励磁绕组.这 种采用永久磁铁作为励磁源的电机,称为永磁电机。 永磁电机具有以下的特点: 1、永磁电机不需要直流励磁电源, 因此无论对交流同步电机还是对 于别的整机装置来说,都具有相当大的经济价值。 2,永磁电机上没有励磁绕组,铁多铜少.节省了电机的用铜量.而 且减少了电机的电器损耗。 3、永磁材料性熊的高低、稳定性以及其它性能. 直接影响着电机的 运行性能、使用范围、制造容量和经济性。 二、永磁电机的发展概况 永磁电机的制造有悠久的历史。早在三十年代时, 就已经有少数 国家研制成功了永磁电机。扶四十年代刭五十年代, 永磁电机的研究 得到了迅速的发展.制造容量也逐渐地扩大。到五十年代中期. 永磁 感应子式电机有了进一步的发展,并开始在航空、 航天和军事等高技 术领域内得到应用。 随着铸造型铝镍钴合成技术的不断发展。永磁电机的种类、 使用 范围和制造容量也在不断扩大。但铝镍钴合金价格昂贵. 而且不能进 行机械加工.所以限制了它的应用。到五十年代末期. 人们开始生产 出各向异性的铁氧体磁铁,由于它具有较高的去磁作用. 成本低廉, 铸造简便。重量较轻.电阻率高.容易加工等优点.因而曾引起人们 的一度注意。近几年来,许多的国家正在致力于一种新型的永磁材料——钕铁 硼永磁合金的研究和开发.并已取得了很大的成就。目前, 已成功地 应用于各种微电机技术和电子工业中。 永磁电机的容量小奎数分瓦,大至数千伏安,广泛应用于工业、 农业、国防和国民经济的各个部门。永磁电机的品种很多.在整个电 机制造业中占用相当大的比饲。 1-3 本文所作的工作 永磁同步电动机是一种很有发展前途的高效节能产品。根据有关 资料表明,在相同功率、相同极数等同等条件下,永磁同步电动机比 异步电动机的力能指标一般要高出12%-35%.而能耗则要低出5% 一12%,因而它被更广泛地应用于纺织、化纤、机械等行业中。研究和 发展新一代的永磁同步电动机,越来越受到世界各国的重视。 永磁同步电动机有着很大优点,但是它的起动性能却较差, 在要 求起动性能高的场合下难以应用.从而影响了它的进一步推广和使用。 由于永磁同步电动机采用永磁体来作为励磁源. 因而在起动过程中. 它不象异步电动机那样. 仅依靠基波异步转矩就可以顺利达到额定转 速;也不会象电励磁的同步电动机那样,先依靠基波异步转矩达到亚 同步转速,再进行励磁而进入同步运行。 为了使同步电动机能顺利地起动.我们首先必须对电机的起动过 程有个彻底、完全和准确的了解。 本文从一般场的角度出发.运用“加权余量法”的原理.对瞬变 场有限元法进行了详细的公式推导。并且采用一种适用于非线性媒质计算的时同逐步迭代法,以及‘‘运动边界法”来处理定、转子相对运 动。本文分析和计算了一台11聃永磁同步电动机的空载磁场分布和 起动过程的磁场分布,得出了电动机的电流、转矩、转速随时闻变化 的规律。在对绕组电流的计算中,使用了“场譬筹耦合’’的方法。即先 从场的数值解出发,得掰绕组感应电动势,再用外电路求出绕组电流。 这样,既保证了计算的准确.又简化了计算过程。 概括地说,它主要解决了以下几个方面的同题: 1、瞬态电磁场有限元法数学模型的推导 2、在充分考虑永磁同步电动机结构不对称的情况下. 运动网格 的剖分同题。剖分程序可以自动生成每个单元的编号.每个节点的坐 3、在基本上考虑了永磁同步电动机定子绕组的实际分布情况下。解决了电机绕组方程的离散化问题。 4、推导了直接利用场的数值解来计算电磁转矩的公式。 5、利用IccG算法求解大型稀疏方程,二维压缩存贮法存贮系数 矩阵.使得在微机上实现了二维瞬态电磁场的准确计算。 第二章永磁同步电动机的二维瞬态电磁场分析2—1基本方程与二维瞬态电磁场物理模型 麦克斯韦在总结前人成就的基础上.着重从场的观点考虑问题。 把有关电磁现象的各项实验规律归纳提高。建立了以麦克斯韦方程组 为核心的完整的电磁场理论体系。麦克斯韦方程是描述电磁场的基本 方程.是研究电机电磁场的理论基础。在忽略位移电流的情况下. 微分形式为rot矿:r rot矿:一季 div百}=D div百’=O 但是仅有上述方程是无法求解的,还需要附加另外的电磁关系方程,才能构成一个完整的描述电磁性质的方程组。若媒质是各向同性 的,在电磁场作用下,媒质还满足下面的电磁性能关系式 度.扩、矿分别表示电位移、电场强度.£、盯、肛分别表示电 容率、电导率、磁导率。 研究电磁场同题时。媒质的电磁性能参数£、盯、 肛可能随着场 强变化而变化。并且,铁磁物质的磁化特性呈非线性关系, 磁导率弘 是磁场强度或者磁通密度的函数.也就是r的函数。 选取矢量磁位r,使矿=rotr.并且采用库仑规范条 件divr=o,可得以矢量磁位表示的偏徽分方程 {2—21其中,’为磁阻率。 当导电媒质在时变的电磁场中以速度矿运动时.:搿在导电媒质 中同时感应出两种电场。一个是磁场随时间变化产生的电场r,一 个是导电媒质对磁场有相对运动丽产生的电场矿矿,这时就有 n一页流密度,i为产生稳定磁场的劝磁源电流密度。 在二维平面瞬变电磁场中. 导电媒质对磁场相对运动而感应的电 流密度艽为 i2-4)根据数学上全导数的概念,有 12-5)把式12-5)代入式{2-3)中,化简后得 12_6)把式12-6)代入式12—2)中.最终得到 对于二维平面电磁场.电流密度i和矢量磁位r都只有平行于Z轴方向的分量.磁力线全都存在于与lX.Y)平面平行的平面 且所有这些平面内的磁场分布完全相同.即 Jo=Jz A=AzJx=Jy=O 直x=Ay句 Bz=O 为简化起见.略去电流密囊和矢量磁位的下标。逸时. 以矢量磁 位表示的电磁场方程12—71就变为下面的标量方程 麦{V凳)+毒IV嚣)=~Jo+盯蒙 t2~8) 式中的v为铁磁物质的磁阻率,d为材料沿Z轴方向的电导率.由 于式12—8)描述了在瞬变情况下的涡流场,该式也称为涡流方程。 2—2基本假设和求解区域 一、基本假设 为了使求解的特性方程和分析过程简单化,需要作出一些必要的 假设。但是如果电子计算机的运算能力较高,也可以减少菜些假定条 件.使计算结果更接近实际情况。现根据永磁同步电动讥的特点和实 际计算要求,特作如下假设: 1、忽略电机端部效砬.电流密度和磁位只有轴向分量. 磁场沿轴向 分布情况相同,可以:降电机的实际三维场转化为平面二维场问题。 2、忽略铁磁物质的磁滞效应。 3、下考虑电机在瞬变过程中的g娃变化.忽略温度对屯导率, 率的影响,电导率是个固定的常数。4、铁磁物质为各向同性,磁导率是场的单值函数。铁心由相互绝缘 的硅钢片叠制,可以忽略铁心中的涡流损耗。 5、电机的电磁过渡过程与机械过渡过程相比时间很短,故可以只考 虑电磁瞬变过程。 二、求解区域的确定 同步电机在稳定状态下运行时. 定子磁势与转予都以同步转速同 向旋转.保持相对静止。但是同步电机在起动过程中.定子绕组为了维持其磁链不变.除了要感暖出交流电流分量外.还要感匝出直流电 流分量。这个直流电流分量所产生的磁势在空闻上是静止的. 它与转 子间存在相对运动。如果转予以顺时针方向旋转, 我们可以看作转子 不动,丽定子绕组以同样的速度作逆时钟方向旋转. 它们在研究上是 等效的。 采用这种定子绕组旋转的方法,可使永磁同步电动机起动过程的 瞬态特性计算模型得到简化。在具体编程计算时,取定子绕组转过一 个时步的间距为逐步迭代的时间间隔At.每迭代到下一个时刻.就将 定子移动一个时步的间距。这样.在不同的时刻.定子转过与此相对 应的角度。 选取永磁同步电动机的~个极距为求解区域, 区域的两侧为半周 期边界.定子外圆和气潦的交界面为运动边界。如图2—1所示。 2—3建立瞬态电磁场有限元离散化方程一般来说,推导出二维非线)比较容易, 但是却很难找到其解析解。克服这种困难的补救方法往往是. 研究的定解网题进行简化.然后再进行计算。但这样作的结果.有时 会导致精度太差,甚至会得出错误的结论。 有限元法是一种在保留同题的复杂性的前提下. 求得近似解的数 值分析方法。 这种方法的实质是将所要分析的连续场分割为很多较小 的区域.称为单元。这些单元的集合体就代表原来的场.然后建立每 个单元的计算公式.再全部组合起来,就能求解得到连续场的解答。 推导有限元的计算公式有很多种方法,常见的有加权余量法和变 分法。根据变分原理建立电磁场有限元离散化公式, 必须先对控制方 程求出相应的泛函.然后对泛函求极值导出一组代数方程。 但是某些 实际问题,泛函根本不存在或很难求出。而由n权余量法lThethod Wei曲tedResiduals)却独立于变分原理.具有方法简单,适胃范围广.可以较快得到近似解等特点。本文:瞎采用加权余量法推导出与 式{2—8)相对应的有限元离散化方程。 一、加权余量法概述 “加权余量法”这~名称为外国学者Crandall 1956年昕首创. 而c01latz称为误差分布原理.它包括了许多目前常用的近位I方法, 适合于求解非线性及非启伴的初值、边值及特征值问题, 因而在势流 场中得到了日益广泛的应用。 设考虑函数…x.y,z,t)的控制方程为 式中L{)表示一个含有u的空间导数的线性微分算子.t表示时间。设初始条件和边界条件为 ulx.y,z,t)=llslI,y,z,t)lx,y.z)在81上 其中8l为第一类边界,¥2为第二类边界。假定有一个试探解在一定程度上近似满足微分方程12—9), 它即为 此方程的近似解.于是存在微分方程余量: R(u1=Llu)一嚣 f2—10)如果试探解不完全满足定解条件,则还存在初始余量Ii0{u1和边界 余量R1{u)及R2lu) Ro【u)=u—llf) R1(u)=u—us R2Iu)=嚣一q 这几种余量是近似解满足控制方程及定解条件的程度的量度. 逐次逼近中它们变得越来越小,当都恒等于零时.就得到了精确解。根据此要求,作出各余量的加权积分。并令其为零.即在某种意义下 的平均误差为零.狄而求出近似解,这就是加权余量法的意艾和目的。 现在只谈论势流场的边值同题.暂不考虑扔始条件。如果u表示 场的位函数.在L的定义域中可用函数集uk逼近. 而且它们作为一组 基函数.张成一个线性空间.因而可以叠加.得 式中戊k为待定系数,t|l(是取自线性无关函数的完备序列,经过选择使它们满足给定的边界条件.并有足够的连续性.此时只存在方程误差 R(u)。对于精确解,式12—11)一般是无穷顼之和.使Rfu)为零;对于 近似解.式(241)一般是有限项之和,适当取k的值使其在平均意义 下的方程误差为零.即内积为零,其数学表达式为 二wmJldV=<Wm.Ic>=O m=1.2,3,...。n 《2—121 式中Wm是权函数.它也是完备序列中线性独立函数的一部分。取n个权 函数.可以得到n个方程.:挎式12—11)代入式{2—10)后再代入式12—12) 得到 占蚍<Wm“uk)>“n 写成矩阵形式为【.^mk】【崔k】=【BIfI】 m,k=1.2.3,...,n 12—13) <咀,L(u1)><肌,L(112)>【址】=I<睨,L(u1)><W2。L《u2)> 从而可求出n个瞄k值,得刘如式{2二11)的近似解。当项数增加时(即n增大)时,便将收敛到精确解。 权函数的不同形式对应于加权余量法中的不同准则. 而分别得到 不同的近似方法。如边值同题的伽辽金《G&lerkin)法、积分法、 子区 域(subregions)法、最小二乘ileast一8qllre)法、矩量(皿oment 皿ethod)法、点配置(collocation,point皿atching)法等。实际上. 有限差分法、有限元法、 格林函数法以及近年来得到很大发展的边界 元法也都可以归属于加权余量法。 伽辽金(Galerkin)准则的特点是取试探解作为权函数.在有限元 法中即取插值函数。因为插值函数属于完备函数系,在近似过程中. 方程余量通常是连续的, 仅当它与完备函数系中的每个成员正交时, 内积才能为零, 所以伽辽金法可以解释为使方程余量正交于完备函数 系的每个函数.然而实际上只能严格正交于系中的有限个函数。 二、有限元离散 现在按照伽辽金准则建立电磁场有限元离散化方程。设定解问题 是二维非线).在直角坐标系内. 其数学模型可以用 统一字符表述为 (2—14) 有限元离散化采用线性三角形单元,插值函数为 u=Niui+Njuj+Nmum 式中ui,uj.珊分男为三角形三个节点上u的函数值. Ni.Nj。N皿是坐标 的函数(A为三角形单元的面积): 式中Ni、Nj、Nm称为插值基函数,亦称为形状函数。而a,,aj。a址.bt'bjt k.ct.cj,c。,是由有限元剖分三角形单元节点坐标决定的常数, 它们的计算公式如下: ai=xj%一xmyj aj=Imyi~xiy皿 am《iyj—xjyi bi-yj—ym bj_y。一yi b。-yi-yj ci_x血_Ij Cj=xi—x血c垃;xj—Xi xiyi 如果求解的平面区域剖分为h个单元,则式(2—12)可以写成l第一、二类边界条件另作处理): 其中(吸,R)2L吸月前方2否丘2 第20页(2-16) (2一17) 按伽辽金准则,取矾=M,代人式(2.1A并利用式(2-“)的徽分方程,得 根据平面格林公式,有L(鲁+害)击毋=Jpcos(")十Qc。s(")协 在式(2。19)哥号左边弟=I且积分内,令 N18豢:P。Nip尝=Q ji2互五【q辑+0叶+%‰,以及警=芸,警=去 可以得捌 (2-20)第22 代人式(2—20)第一项积分内.因为对于有一种或多种均匀且各向同性的不同媒质子区域的求解场域,在单元划分时,可以使得在一个三角形单元内, 声不是x,y的函数.同时考虑到: 令‰=丢(辞+o),%=丢+qq),k=丢(城+%)并代人上式中,得到 由于去JA触咖=;k+_+‰),去JA脚=;+乃+靠),并分别记之为主,多,代人上式,得 (2.22)第23 将第二类边界条件代入式(2_20)的第三个积分项中,得到fM声鲁出=£幽 ’11下面对式(2.20)左边的第四个积分项即涡漉积分项进行处理,因为 (2.25)如果所分析的单元有一条边(供如廊’边)落在第二类边界上,则式中的线 积分应沿直线从J点积分到埘点,取J点作原点,从J点指向删点之同的距 离记为s,-,丽之长为f,则沿此边界的形状函数分别为: (2-28)第25页 其中【_|},】=【后卜b】. 显然,这个结果与根据变分原理求得的完全相同.至于对总刚度矩阵(系 数矩阵)和总裁荷向量(右端向量)进行的约束处理等手续也都没有任何 在式(2.27冲,第二类边界条件体现为一项线积分,由有狠元离散方程自动 满足.特别地,当第二类边界条件为齐次时,即窖=O,线积分项就不存在. 这就是说,在求解式(2 27)时,用不着考虑第二类齐次边界. 现将式(2-”)右端{力矩阵中的,用一山来替换,{“),{血}用{爿},{匀}来替 换,系数矩阵时M用p】’【川来代替,得 刚小嘲小舍抖辨…pz9, 其中,口是并联支路数,l是稽中一个线圈边所古的串联匝数,屯是槽面 积(对单层绕缰)或半槽面积(对双层绕组)。 2—4场路耦合方程的建立及其空间离_敝 £26 在式{2—29)中.{I)代表电机中定、转子绕组中的电流。在瞬变过程中.这是个随时闯变化的未知量, 为了能准确描述电流量的实际 变化情况,需要将电磁场方程和外电流方程联立来求解.整个方程组 以矢量磁位A和绕组电流为求解变量。 图2—3电机绕组的电路模型 按图2—3所示.可以列出绕组电路方程 u。=eb_rhi。^挚u。=盼rci。山鲁 Lb Tu。 写成矩阵形式 其中(u】=【u直ubuclT. 【I)=【i。ib ic】T fe)=【e。ebec】, 【r】=diag【r。rbr。] 【L】:diag【I』I Lb Lc】 由单位长度电势e_一凳, 可知一根导体单位长度的平均电势 Ads12—31) 假设一个线匝,线圈边平均电势为 e;=\11。,e。、,=一N1 l。矗蠡丘Ads 12—32) 对矗蠡丘Ads在每相所属槽内进行加权平均.并设一个 线圈边共划分了ne个单元。鼍苎{鎏作为加权系数. 线圈边共划分了ne个单元。取—字作为加权系数. 对于有p对极,每极每相槽数为q,定子绕组并联支路数为a的电机.定予相电势为 {2—34)由此可得定子绕组电压方程的离散形式 fu)=一2pler【C】T (2—35)其中 依据同样的推导过程.可得转子鼠笼导条所满足的离散形式‘翁2—2p 2—361将式12.29)与式f2-35)、式12—36)联立, 可以得到瞬变电磁场与 绕组电路方程相耦合的有限元离散化方程,写成矩阵形式为: —U-jf2—37) 1l,j第三章耦合方程的时间离散 微分方程的时间离散慕30 前差分及Crank—Nic0180n格式等,其中Crak—Kicol80格式具有无条件稳定、计算精度高等优点.因而可适用于计算瞬态电磁场方程。 erank-Nieol80n格式的算法由下式给出 运用Crank_Nicolso丑差分格式对微分褐合方程{2一盯)先:博式(2—37)简记为 【E】{x)+【F】fx)={B) 再将式{3_11代入方程{3—2).得 {3—11 进行时间离散。 对式13—3}进行化简,并移项.得lfE】+袈)fx)警H-【E】+袈)rx)t+2【B】 现:悔各项的线 上式是一个不对称矩阵,对其进行适当的数学变换.可得到下面的对 称矩阵 式【3_6)即为描述整个场路结合的数学离散化模型。3—2瞬态过程初值的建立 rJLbN 摹32页要求解永磁同步电动机在起动过程不同时刻场的分布. 必须首先 知道t=o时刻场的分布。 对于所要研究的永磁同步电动机来说.在t却时刻.场中的源为永 磁体。根据磁链守恒原理,可用稳态电磁场计算出AI {3~71对式13—7)进行有限元离散化.孰变成 对上式进行求解.即可得到t=o时刻场的分布.以此来获取初值。3—3非线性方程组的线性化 求解非线性方程组的方法一般有迭代法、最速下降法、、ewton一 一一Raphson法、修正的Newton—Raphson法等等。在这些方法中. 由于 Newton—I【aphso法的迭代收敛速度较快。因而Ne霄tQn—Raphson法的应 用很普遍。 第33页 Newton—Raphson法的原理就是对于一个非线性方程组 【K】fu)={p) 13—9) 构造一个雅可比【Jacobi)系数矩阵. 以其近似解矢量的迭代差为来 知矢量,以剩余矢量为右端矢量的线性方程组,并求解出每一次的迭 代近似解。而在每次迭代中,都要重新形成雅可比矩阵.显然计算量 也很大。 将式(3—91的左端记成矢量ff),它的第1个分量是 ffo)=klhuo’ 将{f)每一个分量展开成多元泰勒级数.并把它们扶线性项后截断 就近似地得到 f1_掣,+箬’lul叫o)、+箬’Iu2《、+1+箬’(un《o)) f2-拶,+箬ou}+箬\u。珂钟)+1一-+箬’Iun背,) afl9f1 ofl aul9u2’。。 eun afnafn 号fn aulau2’。’ 9un [J】称为雅可宾矩阵.它是一个n阶方阵。于是就有 这是一个线性代数方程组.其未知矢量为({u卜{u)’),系数矩阵为[J]”’.它的元素都是常数.剩余矢量为{fp卜{f1’)。但从这个线 性方程组的解所得到的(u)不是精确解. 而是第一次迭代后得到的一 次近似解fu)旺’。因此这个线性代数方程组应记为 一般地.在经过k次迭代.解得{u)仳’后.由如下的线性代数方 程组求取 【J】‘。’Ifu)‘。+1’一{u)‘。’)={p卜{f)‘。1 经过适当次数迭代后,上式的剩余矢量接近于零, 从而其解就趋于收 敛值。为了控告0解的精度.可事先确定足够小的正璧£.当满足 ,(p。一ff-))。<8 (3_10) 时.可以认为解已经达到精度要求。现将方程(3_6)右端矩阵元素S值取t时刻迭代值.右端化为一列向 量.用ip)表示,左端系数矩阵用【Q】表示,其中S的元素用带下标的 Kij表示,{孓T用带下标的T表示,一连芝,一筇1匕,胃IiL表示. 解向量喟;A)=fAl A2 A3…An)表示,其中An=一I,此时式.3—6)可 以表示为 今fIAl=【q]{A) 则对单元函数有 T4对称 R£上4l对“A)按泰勒级数展开.并从线性项后截断 经过数学推导 【J】‘-,《{A)‘。+1’一fA)‘。’)=fp卜ff)‘。’ pr= 鼍:cnnFi=kiiAi十ki jAj十ki地^m Fj=kjiAi+k,,Aj+kimAm Fm=k。tAi+k。jA,十k—A。 {3一12l3—4线性方程组的求解 前面已经提到,经过单元分析和总体合成后.有限元计算格式将 转化成一个线性方程组构求解同题。 线性方程组的数值解法分为迭代法、和直接法二类。从理论上讲, 直接法经有限次的运算后,即可得到方程组的精确解。但是由于计算 机的字长有限,计算过程有误差的积累,所以用直接法得出的数值解 也是一种近似解。当系数矩阵的阶数不高时,舍入误差积累不多。 很高时.则由于舍入误差不断积累,计算精度大为下降,这种情况下 选择迭代法比较适宜。迭代法是将求解方程组问题化为桩}造一个无限 序列.其极限便是方程组的解,因而在有限次迭代中。 只能得到满足 一定允许误差的数值近似解。当系数矩阵的阶数很高时. 可用迭代次 数的增加来补偿误差的累积。 大型线性方程组的迭代解法主要有超松弛法{SoR)、共轭斜置法和 兰佐斯法等。迭代法和直接法比较起来.其突出的优点是所编制的程

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